代數（Algebra）是數學從具體計算邁向抽象推理的關鍵一步。在算術（Arithmetic）中，我們處理的是具體數字：「3 加 5 等於 8」；在代數中，我們處理的是一般化的關係：「若 x + 5 = 8，則 x = 3」。這一思維轉換是香港初中數學（S1–S3）的核心學習目標，也是 DSE 數學所有進階內容的基礎。本文從代數的基本概念出發，系統介紹變量、方程式、函數及圖像的核心知識。
從算術到代數：思維方式的轉換
小學算術的核心是「計算已知量」：給定具體數字，按運算規則求出結果。代數的核心則是「用符號表示未知量」，並透過邏輯推導找出未知量的值。這一思維轉換對很多初中生而言並不直觀，因為大腦需要接受「字母可以代表數字」這一抽象概念。
代數表達式（Algebraic Expression）是由數字、字母（變量）及運算符號組成的數學式子，例如 3x + 2、x² - 5x + 6、2a + 3b。其中字母 x、a、b 稱為變量（Variable），其值可以變化。數字 3、2、-5 等稱為係數（Coefficient），獨立的數字項（如 +6）稱為常數項（Constant Term）。
代數式的化簡依賴同類項合併（Collecting Like Terms）的原則：只有包含相同變量及相同次數的項才能合併。例如：3x + 2y + 5x - y = (3x + 5x) + (2y - y) = 8x + y。不能合併不同類型的項，如 3x² + 2x 不能化簡為 5x³ 或 5x（這是初學者最常犯的錯誤）。
一元一次方程：代數的第一個核心工具
一元一次方程（Linear Equation in One Variable）是只含一個未知數且未知數最高次數為 1 的方程，一般形式為 ax + b = 0（a ≠ 0）。求解原理基於等量公理：方程兩邊可以同時進行相同的運算（加、減、乘、除），等號仍然成立。
求解步驟示範：解方程 3x - 7 = 2x + 5
第一步：將含 x 的項移至左邊，常數移至右邊：3x - 2x = 5 + 7
第二步：合併同類項：x = 12
驗算：代入 x = 12，左邊 = 3(12) - 7 = 36 - 7 = 29；右邊 = 2(12) + 5 = 24 + 5 = 29。左邊 = 右邊，方程成立。
含分數的一元一次方程較為複雜，標準解法是先通分，消去所有分母再求解。例如：x/3 + x/4 = 7，將兩邊同乘以最小公倍數 12：4x + 3x = 84，即 7x = 84，x = 12。
一元一次方程在實際生活中有大量應用，包括：速度-時間-距離問題（Distance = Speed × Time）、混合物濃度問題、利息計算及比例分配問題。這類應用題需要先將文字問題「代數化」，即設未知數並建立方程，是 DSE 「數與代數」範疇的常見考核方式。
二次方程：三種求解方法
一元二次方程（Quadratic Equation）的一般形式為 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。這類方程最多有兩個解，香港課程要求學生掌握三種求解方法：因式分解（Factorization）、配方法（Completing the Square）及求根公式（Quadratic Formula）。
方法一：因式分解
適用於二次方程可以被整齊分解的情況。解方程 x² - 5x + 6 = 0：
尋找兩個整數，其積為 6、其和為 -5，得 -2 和 -3。
分解：(x - 2)(x - 3) = 0
由零積定理（若 AB = 0，則 A = 0 或 B = 0）：x = 2 或 x = 3。
方法二：求根公式
當二次方程無法整齊因式分解時，使用求根公式：
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
判別式（Discriminant）Δ = b² - 4ac 決定方程解的性質：
Δ > 0：兩個不相等的實數根
Δ = 0：兩個相等的實數根（即重根）
Δ < 0：無實數根
例題：解 2x² + 3x - 2 = 0，a = 2，b = 3，c = -2。
Δ = 9 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0（有兩個不等實根）
x = (-3 ± √25) / 4 = (-3 ± 5) / 4
x = ½ 或 x = -2
方法三：配方法
配方法是推導求根公式的基礎，亦用於將二次函數化為頂點式（Vertex Form）。解 x² + 6x + 5 = 0：
將常數移至右邊：x² + 6x = -5
兩邊加上 (6/2)² = 9：x² + 6x + 9 = 4
左邊為完全平方：(x + 3)² = 4
x + 3 = ±2，即 x = -1 或 x = -5。
函數與圖像：代數與幾何的橋樑
函數（Function）是一種輸入與輸出之間的對應關係：每一個輸入值（x）對應恰好一個輸出值（y = f(x)）。函數的概念將代數表達式與幾何圖形聯繫起來，是高中數學（S4–S6）的核心主題。
一次函數（Linear Function）
形式：y = mx + c（m 為斜率，c 為 y 軸截距）
圖像：直線，斜率 m 決定線的傾斜程度。m > 0 表示向右上升，m < 0 表示向右下降，m = 0 為水平線。
求直線方程的方法：若已知斜率 m 及一點 (x₁, y₁)，則方程為 y - y₁ = m(x - x₁)（點斜式）。若已知兩點 (x₁, y₁) 及 (x₂, y₂)，則斜率 m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)（斜率公式）。
二次函數（Quadratic Function）
形式：y = ax² + bx + c，圖像為拋物線（Parabola）。
a > 0：開口向上（Concave Up），頂點為最低點（Minimum）。
a < 0：開口向下（Concave Down），頂點為最高點（Maximum）。
頂點（Vertex）的 x 坐標 = -b / 2a；對稱軸方程為 x = -b / 2a。
例題：y = x² - 4x + 3 的頂點：x = -(-4)/(2×1) = 2，y = (2)² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。頂點為 (2, -1)，拋物線開口向上。
函數圖像的繪製步驟：確定函數類型 → 找出關鍵點（截距、頂點、對稱軸） → 代入若干 x 值計算對應 y 值 → 將點標於坐標系 → 連線繪出圖像。使用 Gauss Education 的免費互動數學工具進行代數練習，有助於鞏固方程求解及函數計算的能力。
代數在 DSE 考試中的考核重點
DSE 數學必修部分的「數與代數」範疇佔全卷約 35% 的分數，是所有範疇中比重最大的一個。常見題型包括：代數式的化簡與因式分解、一元二次方程的求解（要求列明使用哪種方法）、二次函數的頂點求法及最大值/最小值應用題、直線方程的求解及兩直線交點的計算。
DSE 考卷中代數題的常見失分原因：移項時忘記變換符號（如將 -7 移至右邊後應變為 +7）、因式分解時遺漏公因子、求根公式中計算 b² - 4ac 時忽略 c 為負數的情況、繪圖時截距計算錯誤。
系統化的代數訓練需要大量有針對性的練習。配合數學補習的課堂講解，學生可在老師的即時糾正下更快速地識別並改正自身的常見錯誤，建立準確的解題習慣，為 DSE 代數題目取得穩定高分奠定基礎。