幾何學是香港數學課程的核心範疇之一，貫穿小學至 DSE 的各個年級。從計算花壇的面積到求倉庫的儲存容量，幾何公式在日常生活與工程設計中均有廣泛應用。本文系統整理香港課程所有必考的二維（2D）及三維（3D）幾何公式，附上計算例題及常見考試失誤分析，適合小學至中學各級學生使用。
二維圖形：面積與周長公式
二維圖形的計算在小學至初中數學課程中佔有重要地位，DSE 數學必修部分的「度量與圖形空間」範疇亦包含進階的二維幾何計算。
正方形（Square）
邊長為 a 的正方形：
面積 A = a²
周長 P = 4a
例題：一塊邊長 7 cm 的正方形地磚，其面積為 7² = 49 cm²，周長為 4 × 7 = 28 cm。
長方形（Rectangle）
長為 l、闊為 w 的長方形：
面積 A = l × w
周長 P = 2(l + w)
例題：一個長 12 cm、闊 5 cm 的長方形，面積為 12 × 5 = 60 cm²，周長為 2(12 + 5) = 34 cm。
三角形（Triangle）
底為 b、對應高為 h 的三角形：
面積 A = ½ × b × h
三角形的高（h）必須是底邊的垂直高度，而非斜邊長度。這是最常見的錯誤來源。
例題：底邊 10 cm、垂直高 6 cm 的三角形，面積為 ½ × 10 × 6 = 30 cm²。
圓形（Circle）
半徑為 r 的圓形：
面積 A = πr²
周長（圓周）C = 2πr = πd（d 為直徑）
例題：半徑 5 cm 的圓，面積為 π × 5² = 25π ≈ 78.5 cm²；圓周為 2π × 5 = 10π ≈ 31.4 cm。考試中若無特別說明，答案保留 π 符號或按指示取小數位。
梯形（Trapezoid）
上底為 a、下底為 b、高為 h 的梯形：
面積 A = ½(a + b) × h
梯形公式的本質是兩個平行邊的平均長度乘以高度，可以理解為「平均底 × 高」。
例題：上底 4 cm、下底 10 cm、高 6 cm 的梯形，面積為 ½ × (4 + 10) × 6 = ½ × 14 × 6 = 42 cm²。
平行四邊形（Parallelogram）
底為 b、對應高為 h 的平行四邊形：
面積 A = b × h
注意：h 是底邊的垂直高度，並非斜邊（斜邊通常稱為平行四邊形的「邊長」而非「高」）。
周長 P = 2(b + s)，其中 s 為斜邊長度。
三維圖形：體積與表面積公式
三維幾何在 DSE 數學必修部分（第三章度量）及初中課程（S2–S3）中均為重點考核內容。
正方體（Cube）
邊長為 a 的正方體：
體積 V = a³
表面積 SA = 6a²
例題：邊長 4 cm 的正方體，體積為 4³ = 64 cm³，表面積為 6 × 4² = 6 × 16 = 96 cm²。
長方體（Cuboid / Rectangular Prism）
長為 l、闊為 w、高為 h 的長方體：
體積 V = l × w × h
表面積 SA = 2(lw + lh + wh)
例題：長 8 cm、闊 3 cm、高 5 cm 的長方體，體積為 8 × 3 × 5 = 120 cm³。表面積為 2(8×3 + 8×5 + 3×5) = 2(24 + 40 + 15) = 2 × 79 = 158 cm²。
圓柱體（Cylinder）
底面半徑為 r、高為 h 的圓柱體：
體積 V = πr²h
全面積 SA = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
例題：半徑 3 cm、高 10 cm 的圓柱體，體積為 π × 3² × 10 = 90π ≈ 282.7 cm³。
圓錐體（Cone）
底面半徑為 r、垂直高為 h、斜面長（斜高）為 l 的圓錐體：
體積 V = ⅓πr²h
全面積 SA = πr² + πrl（底圓面積 + 側面積）
斜高 l = √(r² + h²)（由畢氏定理求出）
例題：底面半徑 6 cm、垂直高 8 cm 的圓錐體，斜高 l = √(36 + 64) = √100 = 10 cm；體積為 ⅓ × π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.6 cm³。
球體（Sphere）
半徑為 r 的球體：
體積 V = &frac43;πr³
表面積 SA = 4πr²
例題：半徑 6 cm 的球體，體積為 (4/3) × π × 6³ = (4/3) × π × 216 = 288π ≈ 904.8 cm³；表面積為 4π × 36 = 144π ≈ 452.4 cm²。
常見考試錯誤分析
根據 DSE 數學科的閱卷報告，以下是幾何題目中最常見的失分原因：
錯誤一：混淆半徑與直徑
題目給出直徑 d = 10 cm，而公式中代入 r = 10 而非 r = 5，導致面積或體積計算出現 4 倍誤差。解決方法：看到圓形相關資料，第一步必須確認給出的是半徑還是直徑。
錯誤二：三角形與平行四邊形的高度判斷錯誤
將斜邊（邊長）誤當作垂直高使用。高（h）必須是底邊的垂直距離，若題目未直接給出，需先用畢氏定理或三角函數計算出垂直高。
錯誤三：圓錐體積與圓柱體積混淆
圓錐體積公式有 ⅓ 的係數（V = ⅓πr²h），而圓柱體積沒有（V = πr²h）。記憶方法：一個圓柱體可以裝下三個等底等高的圓錐。
錯誤四：表面積計算遺漏底面
計算圓柱體或圓錐體的全面積（Total Surface Area）時，必須包含底面（圓柱兩個圓面，圓錐一個底圓）。部分題目只問側面積（Lateral Surface Area），需仔細閱題。
錯誤五：單位換算錯誤
1 m = 100 cm，但 1 m² = 10,000 cm²（100 的平方），1 m³ = 1,000,000 cm³（100 的立方）。面積和體積的單位換算涉及平方和立方，不能直接乘以 100。
複合圖形的計算策略
DSE 及 HKDSE 幾何題目經常出現複合圖形（Composite Figures），即由兩個或以上基本圖形組合而成。解題策略如下：
第一步：將複合圖形分拆為若干可識別的基本圖形（如長方形加半圓、梯形減三角形等）。第二步：分別計算各基本圖形的面積或體積。第三步：按照題目要求進行加法（合併）或減法（去除部分）。
例題：計算一個由長方形（12 cm × 8 cm）加上一個半圓（直徑等於長方形闊度，即 d = 8 cm，r = 4 cm）組成的複合圖形的面積。
長方形面積 = 12 × 8 = 96 cm²
半圓面積 = ½ × π × 4² = 8π ≈ 25.1 cm²
總面積 = 96 + 8π ≈ 121.1 cm²
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