三角學（Trigonometry）是研究三角形邊長與角度之間關係的數學分支，名稱來自希臘語「trigonon」（三角形）與「metron」（測量）。三角學最初為天文學家和測量師所發展，用於計算星體距離和地形測量；在現代，三角函數廣泛應用於工程、物理、計算機圖形學及訊號處理等領域。在香港數學課程中，三角學從初中（S2–S3）的直角三角形基礎，延伸至 DSE 數學必修部分（S4–S6）的正弦定理、餘弦定理及三角函數圖像，是 DSE 卷一及卷二的穩定考核範疇。
直角三角形中的基本三角函數定義
三角函數最基本的定義建立在直角三角形（Right-Angled Triangle）之上。在一個含有銳角 θ 的直角三角形中，三條邊的名稱如下：斜邊（Hypotenuse）是直角的對邊，也是三角形中最長的邊；對邊（Opposite Side）是角 θ 的對面那條邊；鄰邊（Adjacent Side）是角 θ 旁邊但不是斜邊的那條邊。
三個基本三角函數的定義（常以助記詞 SOH-CAH-TOA 記憶）：
sin θ = 對邊 / 斜邊（Opposite / Hypotenuse）
cos θ = 鄰邊 / 斜邊（Adjacent / Hypotenuse）
tan θ = 對邊 / 鄰邊（Opposite / Adjacent）
三角函數之間有一個重要關係：tan θ = sin θ / cos θ，因為 (對邊/斜邊) / (鄰邊/斜邊) = 對邊/鄰邊。此外，正弦和餘弦的互補關係：sin(90° - θ) = cos θ，cos(90° - θ) = sin θ，即一個銳角的正弦等於其餘角（Complementary Angle）的餘弦。
例題：在直角三角形 ABC 中，直角在 C，BC = 5，AC = 12，求 AB（斜邊）及 sin A、cos A、tan A 的值。
由畢氏定理：AB = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
sin A = BC/AB = 5/13；cos A = AC/AB = 12/13；tan A = BC/AC = 5/12
畢氏定理：三角學的基石
畢氏定理（Pythagorean Theorem）陳述：在直角三角形中，斜邊的平方等於另外兩邊的平方和：
a² + b² = c²（c 為斜邊，a 和 b 為直角邊）
此定理的逆定理同樣成立：若三角形三邊 a、b、c 滿足 a² + b² = c²，則該三角形為直角三角形，且最長邊 c 為斜邊。
常見的畢氏數組（Pythagorean Triples，即整數解）包括：
3, 4, 5（3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²）
5, 12, 13（5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²）
8, 15, 17（8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²）
7, 24, 25（7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²）
以上數組的任意倍數亦為畢氏數組（如 6, 8, 10 是 3, 4, 5 的兩倍）。在 DSE 考試中，認出這些常見數組可以節省計算時間。
特殊角的精確三角函數值
30°、45°、60° 三個特殊角的三角函數值必須精確背誦，因為 DSE 數學卷一（Paper 1）及部分卷二題目要求以精確值（Exact Values）而非近似小數作答。
30° 的三角函數值（對應邊比 1 : √3 : 2 的直角三角形）：
sin 30° = 1/2；cos 30° = √3/2；tan 30° = 1/√3 = √3/3
45° 的三角函數值（對應等腰直角三角形，邊比 1 : 1 : √2）：
sin 45° = 1/√2 = √2/2；cos 45° = 1/√2 = √2/2；tan 45° = 1
60° 的三角函數值（注意與 30° 的正弦/餘弦互換）：
sin 60° = √3/2；cos 60° = 1/2；tan 60° = √3
記憶技巧：sin 值由 0° 到 90° 依次為 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1，可以想像為 √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 的規律。cos 值的規律則與 sin 相反（因為 cos θ = sin(90° - θ)）。
此外，0° 及 90° 的值：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 0；sin 90° = 1，cos 90° = 0，tan 90° 無定義（因為鄰邊為零，除數為零）。
正弦定理與餘弦定理：非直角三角形的計算工具
直角三角形的三角函數只適用於含直角的情況。對於一般三角形（非直角三角形），DSE 課程要求學生掌握正弦定理（Sine Rule）和餘弦定理（Cosine Rule）。
正弦定理：在三角形 ABC 中，
a / sin A = b / sin B = c / sin C
其中小寫 a、b、c 為角 A、B、C 的對邊長度。
適用情況：已知兩角一邊（AAS 或 ASA）；已知兩邊及其中一邊的對角（SSA，注意此情況可能有歧義，稱為「歧義情形（Ambiguous Case）」）。
正弦定理例題：在三角形 ABC 中，A = 40°，B = 75°，a = 10 cm，求 b。
由正弦定理：b / sin 75° = 10 / sin 40°
b = 10 × sin 75° / sin 40° = 10 × 0.9659 / 0.6428 ≈ 15.03 cm
餘弦定理：在三角形 ABC 中，
c² = a² + b² - 2ab cos C
（類似地，a² = b² + c² - 2bc cos A；b² = a² + c² - 2ac cos B）
適用情況：已知三邊（SSS，用來求任意角度）；已知兩邊及夾角（SAS，用來求第三邊）。
餘弦定理是畢氏定理的推廣：當 C = 90° 時，cos C = 0，餘弦定理退化為 c² = a² + b²，即畢氏定理。
餘弦定理例題：在三角形 ABC 中，a = 7，b = 8，C = 60°，求 c。
c² = 7² + 8² - 2(7)(8) cos 60° = 49 + 64 - 112 × (1/2) = 113 - 56 = 57
c = √57 ≈ 7.55
DSE 三角學應用題解題策略
DSE 數學卷一的三角學題目通常以實際情境呈現，例如：建築物高度計算（仰角 Elevation Angle 問題）、兩船之間的距離（方位角 Bearing 問題）、山頂與地面的距離（俯角 Depression Angle 問題）及三角形土地面積計算。
解題步驟建議：第一步，細讀題目並畫出清晰的示意圖，標示所有已知邊長和角度。第二步，判斷題目類型：若含直角，優先使用 SOH-CAH-TOA 或畢氏定理；若為非直角三角形，根據已知條件選擇正弦定理或餘弦定理。第三步，進行計算，注意角度的精確度（題目通常要求保留至 0.1° 或直接給出整數角度）。第四步，複查答案的合理性，如求得的邊長是否符合三角形的三邊關係（任意兩邊之和大於第三邊）。
常見考試失誤：計算仰角/俯角問題時未正確辨別直角的位置（垂直高度必須與水平距離垂直）；正弦定理的歧義情形（SSA）未考慮鈍角解；使用計算機時角度模式未切換至「Degree」（DEG），誤用弧度（Radian）計算導致全錯。
三角學的應用亦延伸至 DSE M2 單元，包括三角恆等式的代數推導、弧度制（Radian Measure）及三角函數的圖像轉換。對於需要深入掌握三角學的學生，配合數學補習的系統化訓練是最有效的提升方式。使用 Gauss Education 的免費互動數學工具進行公式速查和基礎計算練習，可在日常溫習中快速鞏固三角函數的核心知識點，為 DSE 三角學部分的穩定得分建立基礎。